soal-soal

Soal 1:
Jika A merupakan jumlah digit-digit dari 4444^4444 dalam basis 10, dan B merupakan jumlah digit-digit dari A, maka tentukanlah jumlah digit-digit dari B.
 
Solusi:
(4444)^(4444)<(10000)^(5000)
maka (4444)^(4444) kurang dari 20000 digit
 
A<(9.20000),
A<(180000)
 
diantara bilangan-bilangan yang kurang dari 180000,
salah satu diantaranya mempunyai jumlah digit yang terbesar yaitu
179999
 
jumlah digit dari 179999 adalah 44
 
maka B<= 44 ,dengan demikian jumlah digit dari B hampir mendekati jumlah digit dari 39 yaitu 12
 
diketahui bahwa setiap bilangan kongruen dengan jumlah digitnya mod9
 
(4444)^(4444) mod9
(7)^(4444) mod9
(7)^4443 .7 mod9
1.7 mod9
7 mod9
 
jadi jumlah digit  B merupakan bilangan yg jumlah digitnya 7 dan <12. yang memenuhi kedua kondisi tsb hanyalah 7.
jadi jumlah digit dari B adalah 7
------------------------------------------------------------------------------------------------------------++ 
 
Soal 2:
Diberikan bilangan bulat a,b,c sedemikian hingga
 
(x - a)(x - 99) + 1 = (x + b)(x + c)
 
tentukan semua solusi dari a,b,c
 
Solusi:
Set x = 99 ke dalam persamaan akan diperoleh
1 = (99+b)(99+c).
karena b,c bulat, maka solusi yg mungkin adalah
(99+b)=(99+c)=±1 shg (b,c) = (-98,-98);(-100,-100)
 
Substitusikan ke persamaan
(x-a)(x-99)+1 = (x-98)² didapat a=97
(x-a)(x-99)+1 = (x-100)² didapat a=101
Jadi (a,b,c) = (97,-98,-98);(101,-100,-100)


Soal 3:
Manakah yang lebih besar, √2009 + √2012 ataukah √2010 + √2011 ?
 
Solusi:
 
A=√2009 + √2012
B=√2010 + √2011
 
 
A²=(√2009 + √2012)² = 4021 + 2√(2009.2012)
B²=(√2010 + √2011)² = 4021 + 2√(2010.2011)
 
misalkan n=2010 maka
√(2009.2012) = √(n-1)(n+2) = √(n²+n-2)
√(2010.2011) = √(n)(n+1) = √(n²+n)
√(n^2+3n) ... √(n^2+3n+2)
 
jelas bahwa 
 √(n²+n) > √(n²+n-2)
 
shg B > A
 
jdi √2010 + √2011 > √2009 + √2012