CIRI-CIRI BILANGAN HABIS DIBAGI

CIRI BILANGAN HABIS DIBAGI

BILANGAN HABIS DIBAGI 2

Suatu bilangan habis dibagi 2, ciri-cirinya adalah bilangan yang berakhiran (berangka satuan)  0, 2, 4, 6, 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap. 

Contoh : apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan ...genap. Rumus untuk bilangan genap adalah 2k untuk sebarang k bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu 2k-1 untuk sebarang k bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2. 74 : 2 = 37

BILANGAN HABIS DIBAGI 3

Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3

Contoh : Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213. Didapatkan, 2 + 1 + 3 = 6. Karena 6 (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi 3. Maka bilangan itu (213) habis dibagi 3. Apakah -345 habis dibagi 3? Langkahnya sama. Kita jumlahkan digit-digitnya dan menghiraukan tanda negative. Jangan tertipu oleh tanda negatif.

BILANGAN HABIS DIBAGI 4

Dua digit terakhir habis dibagi 4. Lebih mudahnya yaitu puluhan dari bilangan itu habis dibagi 4.

Contoh : Apakah 324 habis dibagi 4? Dua digit terakhir yaitu 24. Dan 24 habis dibagi 4. Sehingga 326 habis dibagi 4. Apakah 2006 habis dibagi 4? Tidak. Karena dua angka terahirnya yaitu 06. Sedangkan 06 tidak habis dibagi 4. Sehingga 2006 tidak habis dibagi 4.

BILANGAN HABIS DIBAGI 5

Bilangan tersebut berakhiran 0 atau 5.

Contoh : Apakah 3255 habis dibagi 5? Digit terakhir adalah 5. Sehingga 3255 habis dibagi 5. Apakah 2005 habis dibagi 5? Sangatlah mudah menentukan ciri bilangan habis dibagi 5

BILANGAN HABIS DIBAGI 6

Ciri Bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Atau bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2.

Contoh : apakah 234 habis dibagi 6? Sekarang kita perhatikan jumlah angka-angkanya. 2 + 3 + 4 = 9. Dan 9 habis dibagi 3.  Karena jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 dan bilangan itu genap. Maka 234 habis dibagi 6.

BILANGAN HABIS DIBAGI 7

Bila bagian satuannya dikalikan 2, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7, maka bilangan itu habis dibagi 7.

Contoh : apakah 5236 habis dibagi 7? Kita pisahkan 6 (satuannya), kemudian 523 – (6 x 2) = 511. Apakah 511 habis dibagi 7? 51 – (1 x 2) = 49. Karena 49 habis dibagi 7, maka 5236 habis dibagi 7.

BILANGAN HABIS DIBAGI 8

Tiga digit terakhir habis dibagi 8.

Contoh : apakah 3224 habis dibagi 8? Tiga digit terakhir yaitu 224. Dan 224 habis dibagi 8. Sehingga 3224 habis dibagi 8. Bagaimana dengan 56? Tidak jadi masalah karena 56 = 056.  Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu 056. dan 56 habis dibagi 8. Sehingga 56 habis dibagi 8.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 9

Jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.

Contoh : apakah 819 habis dibagi 9? Jumlah digit-digitnya yaitu 8 + 1 + 9 = 18. Dan 18 habis dibagi 9. Sehingga 819 habis dibagi 9.

BILANGAN YANG HABIS DI BAGI 11

Sebuah bilangan habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi 11.

Misalnya : Apakah 1234 habis dibagi 11?

Maka yang kita lakukan adalah menjumlahkan dengan tanda berselang seling dari digit satuan. Tanda dimulai dari positif. 1234. Maka mengechecknya 4 – 3 + 2 – 1 = 2. Karena 2 tidak habis dibagi 11, maka 1234 juga tidak habis dibagi 11.

Apakah 803 habis dibagi 11?

3 – 0 + 8 = 11. Maka 803 habis dibagi 11.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 13

Ciri bilangan habis dibagi 13 adalah bilangan asal dipisahkan satuannya. Kemudian dikalikan 9 (multiplier dari 13). Dan bilangan yang setelah dipisahkan tadi dikurangi dengan 9 kali bilangan satuannya.

Misalnya bilangan awal kita adalah abcdefg, maka ciri bilangan habis dibagi 13 adalah (abcdef) – 9g. Jika hasilnya habis dibagi 13, maka bilangan semula juga habis dibagi 13.

Contoh : Apakah 3419 habis dibagi 13 ? Kita pisahkan 341 – 9(9) = 341 – 81 = 260.

Karena 260 habis dibagi 13, maka 3419 habis dibagi 13.

Kita coba angka yangg lebih besar. Misal Apakah 12818 habis dibagi 13?

1281 – 9(8) = 1281 – 72 = 1209

120 – 9(9) = 120 – 81 = 39.

39 habis dibagi 13, maka 12818 habis dibagi 13.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 17

Ciri bilangan habis dibagi 17 adalah jika bilangan tersebut dipisahkan antara satuannya dan sisa angkanya kemudian jika sisa angkanya dikurangi dengan 5 kali satuannya dan hasilnya habis dibagi 17. Maka bilangan semula habis dibagi 17.

Misalnya apakah 153 habis dibagi 17?

Langkah pertama yaitu memisahkan bilangan tersebut dengan satuannya. 153 menjadi 15 dan 3. Kemudian kita lakukan langkah pada syarat tersebut.

 15 – 3(5) = 0.

 Karena 0 habis dibagi 17, maka 153 juga habis dibagi 17.

Contoh lain yang lebih panjang yaitu apakah 5338 habis dibagi 17?

Kita lakukan langkah-langkah yang telah diberikan sebelumnya. 

533 – 8(5) = 493

49 – 3(5) = 34 

Karena 34 habis dibagi 17, maka 5338 habis dibagi 17.

CIRI BILANGAN HABIS DIBAGI 19

Ciri bilangan habis dibagi 19 yaitu jika satuannya dikalikan dua dan ditambahkan pada angka sisa (angka semula yang dibuang satuannya) dan hasilnya habis dibagi 19 maka bilangan itu habis dibagi 19.

Contoh :

Berangkat dari contoh yang sangat sederhana.

Apakah 209 habis dibagi 19?

Secara perhitungan biasa, 209 habis dibagi 19. Karena 19 x 11 adalah 209. Sekarang bagaimana jika kita menggunakan ciri bilangan habis dibagi 19 menggunakan cara yang telah disebutkan di atas. Sekarang kita perhatikan angka 209. Angka tersebut satuannya kita pisah.

Diperoleh angka-angka baru yaitu 20 dan 9.

Kemudian langkah selanjutnya yaitu angka satuan kita kalikan dua dan kita jumlahkan dengan angka yang lain yang telah dipisah tadi. Diperoleh, 20 + 9(2) = 28. Dan karena 38 habis dibagi 19, maka bilangan asal tadi juga habis dibagi 19. Sehingga, 209 habis dibagi 19.

Sekarang kita lanjutkan untuk contoh dengan angka yang lebih besar.

Apakah 9937 habis dibagi 19?

Kita lakukan langkah-langkah yang telah diberikan tadi. 933 + 7(2) = 1007. Tentunya sekarang kita dapatkan angka yang lebih kecil. Untuk mengecheck apakah 1007 habis dibagi 19, maka kita lakukan langkah yang sama. Dengan cara yang sama. 100 + 7(2) = 144. Kita lanjutkan dengan mengecheck apakah 114 habis dibagi 19. Kita peroleh, 11 + 4(2) = 19.

Dan karena 19 habis dibagi 19, maka 114 habis dibagi 19. Dan diperoleh 1007 habis dibagi 19. Dan akhirnya 9937 juga habis dibagi 19.

soal-soal

Soal 1:
Jika A merupakan jumlah digit-digit dari 4444^4444 dalam basis 10, dan B merupakan jumlah digit-digit dari A, maka tentukanlah jumlah digit-digit dari B.
 
Solusi:
(4444)^(4444)<(10000)^(5000)
maka (4444)^(4444) kurang dari 20000 digit
 
A<(9.20000),
A<(180000)
 
diantara bilangan-bilangan yang kurang dari 180000,
salah satu diantaranya mempunyai jumlah digit yang terbesar yaitu
179999
 
jumlah digit dari 179999 adalah 44
 
maka B<= 44 ,dengan demikian jumlah digit dari B hampir mendekati jumlah digit dari 39 yaitu 12
 
diketahui bahwa setiap bilangan kongruen dengan jumlah digitnya mod9
 
(4444)^(4444) mod9
(7)^(4444) mod9
(7)^4443 .7 mod9
1.7 mod9
7 mod9
 
jadi jumlah digit  B merupakan bilangan yg jumlah digitnya 7 dan <12. yang memenuhi kedua kondisi tsb hanyalah 7.
jadi jumlah digit dari B adalah 7
------------------------------------------------------------------------------------------------------------++ 
 
Soal 2:
Diberikan bilangan bulat a,b,c sedemikian hingga
 
(x - a)(x - 99) + 1 = (x + b)(x + c)
 
tentukan semua solusi dari a,b,c
 
Solusi:
Set x = 99 ke dalam persamaan akan diperoleh
1 = (99+b)(99+c).
karena b,c bulat, maka solusi yg mungkin adalah
(99+b)=(99+c)=±1 shg (b,c) = (-98,-98);(-100,-100)
 
Substitusikan ke persamaan
(x-a)(x-99)+1 = (x-98)² didapat a=97
(x-a)(x-99)+1 = (x-100)² didapat a=101
Jadi (a,b,c) = (97,-98,-98);(101,-100,-100)


Soal 3:
Manakah yang lebih besar, √2009 + √2012 ataukah √2010 + √2011 ?
 
Solusi:
 
A=√2009 + √2012
B=√2010 + √2011
 
 
A²=(√2009 + √2012)² = 4021 + 2√(2009.2012)
B²=(√2010 + √2011)² = 4021 + 2√(2010.2011)
 
misalkan n=2010 maka
√(2009.2012) = √(n-1)(n+2) = √(n²+n-2)
√(2010.2011) = √(n)(n+1) = √(n²+n)
√(n^2+3n) ... √(n^2+3n+2)
 
jelas bahwa 
 √(n²+n) > √(n²+n-2)
 
shg B > A
 
jdi √2010 + √2011 > √2009 + √2012

 

Matematika Fmipa Unpad

Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran berdiri pada tahun 1957 sebagai salah satu Jurusan di Fakultas Ilmu Pasti dan Ilmu Alam (FIPIA). Sejak berdirinya, Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran selalu konsisten untuk menghasilkan para matematikawan yang memiliki keahlian dan kemampuan dalam bidang matematika, hal ini sesuai dengan visi Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran yaitu: ”Komitmen terhadap penguasaan, pengembangan dan penerapan ilmu matematika bagi dukungan terhadap proses belajar-mengajar dan penelitian yang relevan dan bermutu, sejalan dengan dinamika IPTEK dan masyarakat”
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran menyelenggarakan program pendidikan Jenjang Strata I (S1) atau Sarjana. Lulusan jenjang Strata I Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran akan memperoleh gelar kesarjanaan Sarjana Sains (S.Si). Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran menawarkan 3 (tiga) Bidang Minat, yaitu:
• Bidang Minat Matematika Murni (Analisis dan Aljabar)
• Bidang Minat Matematika Terapan (Matematika Industri dan Lingkungan, dan aktuaria)
• Bidang Minat Ilmu Komputer
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran saat ini memiliki 48 orang tenaga pengajar (Dosen), terdiri dari 8 orang bergelar Doktor, 32 bergelar Master, sisanya bergelar sarjana, semuanya tersebar ke berbagai bidang keahlian utama, antara laian bidang aljabar, analisis, geometri, riset operasional, komputer, pemodelan matematika dan matematika keuangan.
Untuk menunjang pelaksanaan kegiatan perkuliahan, praktikum, workshop, kursus, pelatihan dan penelitian, Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran ditunjang oleh fasilitas-fasilitas:
• Laboratorium Komputer Dasar
• Laboratorium Komputer Lanjut
• Laboratorium Matematika Murni
• Laboratorium Matematika Terapan
• Laboratorium Penelitian dan Kerjasama
• Laboratorium Tugas Akhir
• Perpustakaan
Sarjana Matematika dapat berkerja di instansi pemerintah maupun swasta, seperti di BPPT, LIPI, LAPAN, BATAN, BPS, BAPENAS, Departemen Keuangan, Asuransi, perbankan, pasar modal, bisnis, teknologi informasi, konsultan dan lain sebagainya. Lulusan S1 Jurusan Matematika juga dapat melanjutkan pendidikan ke S2 dan S3 Matematika, Matematika Terapan, Pendidikan Matematika, Teknik Industri, Informatika, Ilmu Komputer, Aktuaria.
Untuk meningkatkan kualitas pendidikan, jurusan Matematika telah menjalin berbagai kerjasama dengan sejumlah pihak, antara lain:

• Kerjasama dengan Direktorat Pembinaan Sekolah Luar Biasa Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Depdiknas tentang peningkatan mutu pengelolaan dan penyelenggaraan pendidikan khusus dan pendidikan layanan khusus (PK/PLK).
• Kerjasama dengan SMPN I Bale Endah tentang penyelenggaraan kegiatan peningkatan kualitas pembelajaran
• Kerjasama dengan ITB, UGM, UI, UNSRI dalam hal magang penelitian
• Kerjasama dengan IndoMS mengadakan Saresehan Ketua Jurusan Matematika.
• Kerjasama dengan Jurusan Matematika Universitas Indonesia mengadakan Seminar Nasional Matematika.
• Kerjasama dengan Universitas Twente Belanda dalam hal program post doktoral
• Kerjasama dengan universitas di Pakistan dalam hal pendidikan lanjutan

Visi Jurusan Matematika :
Peduli dan komitmen terhadap penguasaan, pengembangan dan penerapan ilmu matematika bagi dukungan terhadap proses belajar mengajar dan penelitian yang relevan dan bermutu sejalan dengan dinamika iptek dan masyarakat.

Misi Jurusan Matematika :

1. Menghasilkan matematikawan yang dinamis, bermutu dan profesional yang mampu dan berani memasuki tantangan dan
2. peluang kerja dengan ciri global competition-standard-quality Melaksanakan peningkatan mutu yang berkelanjutan bagi
3. proses belajar mengajar Meningkatkan kualifikasi staf akademik dalam pendidikan, penelitian dan pengabdian kepada masyarakat
4. Membangun jalinan kerjasama nasional dan internasional dalam konteks pendidikan dan penelitian, link & match dalam industri dan jasa
5. Meletakkan dasar yang kuat bagi pembukaan program pascasarjana.

Modulo tingkat dasar

nama lain dari modulo itu sisa pembagian

Misalnya,

11 dibagi 4
hasilnya 2 sisanya 3

dlm penulisan modulo

11 mod 4 = 3

Atau

Kongruensi

11 Ξ 3 (mod 4)

Ξ Itu simbol kongruen. Sama dg tp ada 3

Klo sama dg kn artinya sama.. Ruas kanan sama dg ruas kiri..

Klo kngruensi pada modulo itu simbol..
Jadi

10 Ξ 2 (mod 4)

Itu artinya
4 hbs membagi 10-2

definisi modulo
a=b mod c <--> c l (a-b) "c membagi a-b" <--> a-b = kc atau
a= kc + b.
bahasa lebih sederhanany
a di bagi c sisany b
a=b mod c dibaca "a kongruen b modulo c"

Note:
lambang sbnrny bukan "=" sama dengan, tp yg strip tiga yg dr mas sihab dibacany kongruen

kita akan sering menggunakan
a Ξ b (mod c)

sifat pada modulo
1. Utk penjumlahan...

a+k Ξ b+k (mod c)

Jd pd modulo, kita boleh menambahkan k sprti tsb
2. Utk pengurangan

a-k Ξ b-k (mod c)
‎3. Utk perkalian

ak Ξ bk (mod c)
4. untuk pembagiana/kΞb/k mod(c/gcd(k,c))
atau
Utk pembagian perlu hati2..

Misalkan m adlh fpb dari k dan c

a Ξ b (mod c)

maka

a/k Ξ b/k (mod c/m)

Berapakah sisa dari
5.5.5.5.5 dibagi 11

itu 5^5

Gunakan sifat

a^(p-1) ≡ 1(mod p)disini diingat untuk p prima berlaku rumus tersebut

5^10 = 1 mod 11
(5^5)^2 = 1 mod 11

maka..
(5^5) mod 11= (1 mod 11)^2

(5^5) mod 11
=(25 x 25 x 5) mod 11
=[(25 mod 11)(25 mod 11)(5 mod 11)] mod 11
=(3x3x5) mod 11
=45 mod 11
=(4x11 + 1) mod 11
=1 mod 11
=1

5 Ξ 5(mod 11)

gunakan sifat perkalian

5.5 Ξ 5.5(mod 11)
5.5 Ξ 25(mod 11)
5.5 Ξ 3(mod 11)
5.5.5 Ξ 3.5(mod 11)
5.5.5 Ξ 15(mod 11)
5.5.5 Ξ 4(mod 11)
5.5.5.5 Ξ 4.5(mod 11)
5.5.5.5 Ξ 20(mod 11)
5.5.5.5 Ξ 9(mod 11)
5.5.5.5.5 Ξ 9.5(mod 11)
5.5.5.5.5 Ξ 45(mod 11)
5.5.5.5.5 Ξ 1(mod 11)

Jd, sisanya 1


berapakah sisa dari
5! dibagi oleh 7

5 Ξ 5 (mod 7)
5.4 Ξ 5.4 (mod 7)
5.4 Ξ 20 (mod 7)
5.4 Ξ 6 (mod 7)
5.4.3 Ξ 6.3 (mod 7)
5.4.3 Ξ 18 (mod 7)
5.4.3 Ξ 4 (mod 7)
5.4.3.2 Ξ 4.2 (mod 7)
5.4.3.2 Ξ 8 (mod 7)
5.4.3.2 Ξ 1 (mod 7)
5.4.3.2.1 Ξ 1 (mod 7)

Jd, sisanya 1

berapakah sisa
(2^8) - 1 dibagi 5

2 Ξ 2(mod 5)

2.2 Ξ 2.2(mod 5)
2.2 Ξ 4(mod 5)
Atau
2^2 Ξ 4(mod 5)

2^2.2^2 Ξ 4.4(mod 5)
2^2.2^2 Ξ 16(mod 5)
2^2.2^2 Ξ 1(mod 5)
2^4 Ξ 1(mod 5)

2^4.2^4 Ξ 1.1(mod 5)

2^8 Ξ 1(mod 5)

Gunakan sifat pengurangan

2^8 - 1 Ξ 1 - 1(mod 5)
2^8 - 1 Ξ 0(mod 5)

Jd, sisanya 0
Berapa sisa 4 x 6 di bagi 5
‎4.6 mod 5 Ξ (5-1)(5+1) mod 5 Ξ 5^2 - 1 mod 5
Ξ -1 mod 5
Ξ 5 - 1 mod 5
Ξ 4 mod 5
jadi sisanya 4

berapakah sisa
(2^17)+(17^2) dibagi 9

‎{(2^17)+(17^2)} mod 9

2^4 mod 9 = 16 mod 9 = 7 mod 9
(2^4 x 2^4) mod 9 = (7x7) mod 9 = 49 mod 9 = 4 mod 9
(2^8 x 2^8) mod 9 = (4x4) mod 9 = 16 mod 9 = 7 mod 9
2^17 mod 9 = (2^16 x 2) mod 9 = (7x2) mod 9 = 14 mod 9 = 5 mod 9

17^2 mod 9 = (17 mod 9 x 17 mod 9) mod 9 = (8x8) mod 9 = 64 mod 9 = 1 mod 9

{(2^17)+(17^2)} mod 9 = 5 mod 9 + 1 mod 9 = 6 mod 9 = 6
cara 2
2.2^16 + 289 mod 9
2.256^2 + 289 mod 9
2.(252+4)^2 + 289 mod 9
32+289 mod 9
321 mod 9
6 mod 9
6

kita ke bilangan yg besar
Berapa sisa
7^77 dibagi 12

‎7.7^76 mod 12
7.49^38 mod 12
7.(48+1)^38 mod 12
7.1^38 mod 12
7 mod 12
=7

Misal kita ambil bilangan:

(32+13)^2 dibagi 8
ini artinya=
32x32 + 32x13 +32x13 + 13x13.

nah 32 merupakan faktor dari 8
jadi Jika ada perkalian yang merupakan faktor 8, Jika dikali berapapaun lalu di bagi 8 pasti tidak ada sisanya..

jadi dari faktor (32+12)^2 yang buukan faktor 8 hanya 13x13

jadi (32+13)^2 mod 8=
13^2 mod 8
169 mod 8
1 mod 8
=1
brpakah sisa 3^2002 dbagi 100 !
‎3^5 = 243

3^5 Ξ 243(mod 100)
3^5 Ξ 43(mod 100)

3^5.3^5 Ξ 43.43(mod 100)
3^5.3^5 Ξ 1849(mod 100)
3^10 Ξ 49(mod 100)

3^10.3^10 Ξ 49.49(mod 100)
3^10.3^10 Ξ 2401(mod 100)
3^20 Ξ 1(mod 100)
(3^20)^100.3^2 Ξ 1^100.3^2(mod 100)
3^2002 Ξ 9(mod 100)

Jd jwbnnya 9
Berapakah sisa dari (3^2011) - 1 dibagi 61
3^2 kong 9 mod 61
3^4 kong 20 mod 61
3^8 = (3^4)^2 =400 kong 34 mod 61
3^10= (3^8)(3^2)=34x9=306 kong 1 mod 61
(3^10)^100=3^1000 kong 1 mod 61
(3^1000)(3^1000)(3^10)(3)=
3^2011 kong (1x1x1x3=3) mod 61
3-1=2
cara 2
3^2 Ξ 9(mod 61)

3^4 Ξ 81(mod 61)
3^4 Ξ 20(mod 61)

3^4.3^4 Ξ 20.20(mod 61)
3^4.3^4 Ξ 400(mod 61)
3^8 Ξ 34(mod 61)

3^2.3^8 Ξ 9.34(mod 61)
3^10 Ξ 306(mod 61)
3^10 Ξ 1(mod 61)

[(3^10)^100].3^11 Ξ 1^100.3^10.3^1 (mod 61)
3^2011 Ξ 1.3(mod 61)
3^2011 Ξ 3(mod 61)

(3^2011) - 1 Ξ 3 - 1(mod 61)
(3^2011) - 1 Ξ 2(mod 61)

jd sisanya 2..

kita kan tahu bhwa
10 Ξ 2 (mod 4)

Jika dibagi 2
Fpb dr 2 dn 4 adlh {2}

10/2 Ξ 2/2(mod 4/{2})

5 Ξ 1(mod 2)

{2} hy utk mmbdakan dg 2.
2 yg ada krungnya itu dr fpb dr pmbagi dan mod


kita td udh ngitung,
3^2002 Ξ 9(mod 100)

berapakah sisa dari

3^2001 dibagi 100

3^2002 Ξ 9(mod 100)
Fpb dr 100 dan 3 adlh 1.

3^2002/3 Ξ 9/3 (mod 100/1)

3^2001 Ξ 3(mod 100)

jd sisanya 3
berapakah sisa 2^70 + 3^70 dibagi 13kan sesuai teorema a^n+b^n habis dibagi a+b jadi (2^2)^35 +(3^2)^35 habis dibagi 2^2+3^2=13oha ya a^n+b^n habis dibagi a+b berlaku untuk n bilbul ganjilberapakah sisa pembagian dari 47^99 oleh 100
47^2 Ξ 9 mod 100
47^4 Ξ (9x9=81) mod 100
47^5 Ξ (81x47=3807) --> 7 mod 100
(47^5)^19 = 47^95
stiap klipatan 4 maka bnyk sisa akan kmbli k awal. jd 47^95 = 43 sisa'a, yaitu (7^3 mod 100)
47^99=47^95 x 47^4 = (43x81=3483) mod 100
maka 83

47^99 mod 100

47^2 Ξ 9 mod 100
47^3 Ξ 23 mod 100
(47^3)^3 Ξ 67 mod 100
47^9 Ξ 67 mod 100
47^10 Ξ 49 mod 100

47^11 Ξ 3 mod 100
(47^11)^3 Ξ 27 mod 100
47^33 Ξ 27 mod 100
(47^33)^3 Ξ 83 mod 100
47^99 Ξ 83 mod 100

sisa 83



47^99 mod 100
euler 100= 100(4/5)(1/2)=40
(47^(40.2)).47^19 mod 100
=1.47^19 mod 100
=(47^2)^9 . 47 mod 100
=(2209)^9 . 47 mod100
=9^9 . 47 mod 100
=729^3 . 47 mod 100
=29.29.29.47 mod 100
=41.63 mod 100
=83 mod 100
EULER
Jika a^m mod b, dengan a dan b relatif prima, maka a^(euler b) mod b=1
euler b= b(1-(1/p))(1-(1/p))..
Dengan p=faktor prima dari b
euler 100=100(1-1/5)(1-1/2)=100(
4/5)(1/2)=40
contoh lain, euler 12=12(1/2)(1/3)=2
nah soal yg td, 47 dan 100 kan prima, maka 47^euler100 mod 100=1


coba kerjain soal
37^134 mod 50
euler 50 = (1-1/2)(1-1/5) = 50 (1/2)(4/5) = 20
37^(20.5) . 37^23 mod 50
1.37^23 mod 50
37^20 . 37^3 mod 50
1.37^3 mod 50
37^2 . 37 mod 50
19 . 37 mod 50
703 mod 50
3 mod 50

cari euler dari:
50, 82, 105, 374
euler 50 = (1-1/2)(1-1/5) = 50 (1/2)(4/5) = 20euler 82 = 82(1-1/2)(1-1/41) = 82(1/2)(40/41) = 40
euler 105 = 105 (1-1/3)(1-1/5) = 105(2/3)(4/5) = 56
euler 374 = 374(1-1/2)(1-1/187) = 374 (1/2)(186/187) = 186


13^147 mod 82

euler 82 = 40
13^(40.3+27) mod 82
=13^27 mod 82
=(13^2)^13 . 13 mod 27
=5^13. 13 mod27
=(5^3)^4. 5. 13 mod 82
=(43^2)^2. 5. 13 mod 82
=45.5.45.13 mod 82
=61.11 mod 82
=15 mod 82TEOREMA FERMAT KECIL
Jika p adlh bil prima dan p tdk mmbagi a, maka
a^(p-1) ≡ 1(mod p)
yang berhubungan dengan modulo yaitu a^(euler dari p) ≡1 (mod p)eluler udah dijelaskan diatas tadi

berapakah sisa dr 5^38 jika dibagi 11

Manfaatkan
5^10 Ξ 1(mod 11)

5^38 = 5^(10.3 + 8) = (5^10)^3.(25 mod 11)⁴ mod 11 = (11.2 + 3)⁴ mod 11 = 3⁴ mod 1181 mod 11 = 4 mod 11

Jadi sisanya 4

Sumber:
David M Burton - Elementary Number Theory

bandingkan cra biasa
5^38 jika dibagi 11
5^2(19) mod11
25^19 mod11
(2.11+3)^19 mod 11
3^19 mod11
[3^3(6) x 3 ]mod11
[27^6 mod 11 x 3 mod11]mod11
[(11.2 +5)^mod11 x 3 mod11] mod11
[5^6mod11 x 3mod11] mod11
[25^3mod11 x 3 mod11]mod 11
[(2.11+3)^3 mod11 x 3 mod11] mod11
3^3 mod11 x 3 mod11]mod11
27mod11 x 3 mod11]mod11
5mod11 x 3 mod 11]mod11
5 x 3] mod 11
15 mod11
4mod 11
disingkat jadi
5^38
= 5^(10.3 + 8)
= (5^10)^3 . (5^8)
= (5^10)^3 . (5^2)^4
= (5^10)^3 . (25)^4
= 1^3 . 3^4
= 81

81 = 4 mod 11

berapa sisa dari 5^11 dibagi 11
cara fermat5^11 mod 11
=[5^(10+1)] mod 11
=(5^10 x 5) mod 11
=(1 x 5) mod 11
=5 mod 11
=5
cara biasa

5=5 mod 11
5^2 = 25 mod 11 = 3 mod 11
5^4 = 3^2 mod 11 = 9 mod 11
5^8 = 9^2 mod 11 = 81 mod 11 = 4 mod 11
5^16 = 4^2 mod 11 = 16 mod 11 = 5 mod 11
5^32 = 5^2 mod 11 = 25 mod 11 = 3 mod 11
5^38 = 5^32 .5^4 .5^2 mod 11=3.9.3 mod 11=81 mod 11=4 mod 11

penjelasan rinci dari bang DK
‎5^38 mod 11
karena 11 bilangan prima, sesuai teorema fermat, berlaku:
5^(11-1)=1 mod 11
5^10 = 1 mod 11
38=10.3 + 8
sehingga
5^38 = (5^10)^3 . 5^8 = 1^3. 5^8 mod 11
5^38 = 5^8 mod 11
bearti masalah sudah jd lbh sdrhn, tinggal nyari 5^8 mod 11
dan selanjutny tinggal pake cara manual
5=5 mod 11
5^2 = 25 mod 11 = 3 mod 11
5^4 = 3^2 mod 11 = 9 mod 11
5^8 = 9^2 mod 11 = 81 mod 11 = 4 mod 11
kesimpulan: 5^38 = 5^8 = 4 mod 11
sehinga sisa pembagian 5^38 di bagi 11 adalah 4
saran bang DK
saran ane, sblm maen teorema, kuasai dulu cara manual yg menggunakan sifat2 pada modulo.
klo sifat dah dikuasai dengan baik, semua teori penting dlm modulo yaitu teorema fermat, formula euler dan teorema wilson, akan lbh mudah di pahami..
teorema hanya untuk mempermudah aja, dengan catatan kita sudah paham dgn definisi dan sifat2 pada modulo. jadi, klo kita bljr teorema tanpa faham definisi dan sifat2, ya hasilny ga akan maksimal.
ane perhatiin, kbnykn masih bingung dengan apa itu modulo, dan bagaimana sifat2ny.. ^__^

MENENTUKAN JUMLAH KOEFISIEN DARI SUATU POLINOM

Langsung ja masuk contoh..
Ada soal kyk gini:

Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom
P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011

Buat orang yg pertama ngerjain soal ini mungkin akan menjawab:
GILA JA GUE DISURUH NGITUNG JUMLAH SEMUA KOEFISIEN!!!
BEARTI GUE MESTI NGITUNG SATU-SATU KOEFISIEN DR x^0 , x^1, x^2, ... dst SAMPE x^4022, TERUS DI JUMLAHIN SEMUANY?? NYIKSA GUE NIMAH!!!  ^__^

sepintas memang terlihat susah. Tp mari kita coba selidiki..
Ada temen bilang gini, "klo mau nyari yg ribet2, mulailah dari yg sederhana terlebih dahulu"

ya udah, daripada kita langsung nyelidikin soal yg di atas, ga kebayang seberapa panjangny hasil penjabaran polinom itu. ^__^

anggap ja soalny kita ganti dengan polinom yg sudah terurai misal
P(x)= Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E
berapa ya jumlah koefisienny??
Gampang ya bearti jumlahny adalah:
A - B + C + D - E
apa hubunganny ya?

coba bandingkan bentuk:
Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E dengan bentuk A - B + C +D - E
bedany yg satu masih ada variabel x , satu lagi ga ada.

Bearti klo kita pengen ngitung jumlah seluruh koefisien, yang mesti kita pikirkan adalah bagaimana cara "MEMBUANG" variabel x dari rumusan polinom.
GIMANA YA CARANYA??!! ^_^ 
INGET, bentuk
Dx maknany adalah D "dikali" x
Nah kita pengen menghilangkan variabel x, dengan kata lain, sama ja kita pengen nyari:
D di kali x = D
nah bearti x=1 alias GANTI AJA NILAIi x dengan angka 1 ^__^

ya dah kita coba ja di soal beneran 
P(x) = 5x^7 - 2x^6 + 4x^5 + 3x^4 - 10x^3 + 7x^2 - 9x + 11 
dr penulusuran kita, cara untuk mencari jumlah semua koefisien adalah dengan mengganti x=1 atau kita cari nilai dr P(1), bearti:
P(1) = 5(1)^7 - 2(1)^6 + 4(1)^5 + 3(1)^4 - 10(1)^3 + 7(1)^2 - 9(1) + 11
P(1) = 5 - 2 + 4 + 3 - 10 + 7 - 9 + 11
"TERNYATA P(1)TAK LAIN ADALAH JUMLAH DR SEMUA KOEFISIEN"
KITA DAH DAPET KESIMPULAN, TINGGAL COBA KE MASALAH YG DI ATAS.

Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom
P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011

klo dijabarin akani membentuk:
P(x)=ax^4022 + bx^4021 + cx^4020 + . . . 
dengan jumlah koefisien adalah:
a + b + c + . . .  
sama aja dengan contoh yg sederhana td khan?? 
bearti kita tidak perlu menjabarkan, dan untuk menjawabny CUKUP dengan mencari nilai P(1)

Jd jumlah koefisien dr penjabaran P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011adalah:
P(1) = (5 - 7 + 3)^2011 = (1)^2011 = 1
GAMPANG KHAN?? ^__^

Bila dalam penulisan ini terdapat kekurangan atau kesalahan, saya pribadi minta maaf, karena ini hanya buah pemikiran dr seseorang yg sedang belajar matematika. 
Semoga sedikit ilmu dan pengetahuan ini bisa bermanfaat untuk anggota soulmate

BERSAMBUNG

SYUKRON.. 

TRIK MENGHITUNG BANYAKNYA ANGKA DARI MULAI BILANGAN 1 SAMPAI 1 MILYAR

Tahukah Anda bagamana caranya menghitung banyaknya angka 1 yang muncul dari bilangan 1 sampai 1.000? Atau 1 sampai 100.000? atau mungkin sampai 1 milyar??? Anda dapat menghitungnya dalam waktu  <  5detik.
Pada mulanya, kita menghitung banyaknya angka 1 yang munculdari 1 - 100 sebanyak 21 kali. ( 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ,18 , 19, 21, .............100). Kemudianuntuk bilangan 101 - 199 angka 1 pada ratusan berulang sebanyak 99 kali dan pada puluhan dan satuan, angka 1 muncul sebanyak 20 kali. Dari 200 – 999 angka 1 muncul sbnyak 8 x 20 kali, kemudian ditambah 1. Jadi, banyaknya angka 1 dari 1 – 1000 didefinisikan sbb:
21 + 99 + 20 + 8(20) + 1 = 301 kali.  dst ............. ( capek kao dijelaskan, hhe..)
Rumus perhitungan banyaknya angka 1 yang munculdapat dituliskan sbb :
1 – 100                                 ----------------> 0 + d + 1 = 21 kali
1 – 1.000                             ----------------> 100 + 10d + 1 = 301 kali
1 – 10.000                         -----------------> 2.000 + 100d + 1 = 4001 kali
1 – 100.000                       -----------------> 30.000 + 1.000d + 1 = 50001 kali
1 – 1.000.000                    -----------------> 400.000 + 10.000d + 1 = 600001 kali
1 – 10.000.000                -------------------> 5.000.000 + 100.000d + 1 = 7000001 kali
1 – 100.000.000             --------------------> 60.000.000 + 1.000.000d + 1 = 80000001 kali
1 – 1.000.000.000       ---------------------> 700.000.000 + 10.000.000d + 1 = 900000001 kali

• Ket : nilai d = 20

Untuk mnghitung banyaknya angka 1 yang muncul di antara bilangan-bilangan di atas, perhatikan!
1 – 1000           ---------------> 301 kali
1 – 2000          --------------->1600 kali
1 – 3000         ---------------> 1900 kali
1 – 4000       ---------------> 2200 kali
..........
1 – 9000     ---------------> 3700 kali
1 – 10000 -------------- >4001 kali
1 – 20000 ------------à 18000 kali
1 – 30000   ------------à 22000 kali
1 – 40000 ------------à 26000 kali
1 – 50000 -----------à 30000 kali
............
Dst..
Ditambah kelipatan dari banyaknya angka 0. Jangan lupa, supaya nilainya pas, ditambah 1  ya ... ᶺ_ᶺ_ᶺ

Untuk mnghitung banyaknya angka 2, 3, 4, 5, ...9 yang muncul, tidak ada penambahan 1. Tapi, caranya tetap sama dan lebih PAS ...
1 – 1000                 ------------à 300 kali
1 – 10000               ------------à 4000 kali
1 – 100000             -----------à 50000 kali
Dst .....
1 – 1.000.000.000  --------à 900000000 kali
Maaf kalo tulisannya kurang jelas ...
Smoga bermanfaat ..
SYUKRON KATSIRON ...

Soal-soal STAN, UM UGM, SIMAK UI

SOAL-SOAL STAN


Tahun 1999-2009 (LENGKAP DGN PEMBAHASAN)
http://www.ziddu.com/download/13491483/STAN1999-2009disatukan.zip.html


Tahun 2010
http://downloads.ziddu.com/downloadfile/10475645/USM-STAN-2010TPA.pdf.html

http://downloads.ziddu.com/downloadfile/10475644/USM-STAN-2010ENGLISH.pdf.html

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UM UGM dari tahun 2005 sd 2010

Kemampuan Dasar
http://www.ziddu.com/download/13463529/UM_UGM-Dsr-2005.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13463561/UM_UGM-Dsr-2006.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13463560/UM_UGM-Dsr-2007.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13463702/UM_UGM-Dsr-2008.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13463703/UM_UGM-Dsr-2010.pdf.html

Kemampuan IPA
http://www.ziddu.com/download/13463860/UM_UGM-IPA-2005.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13463861/UM_UGM-IPA-2006.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13463936/UM_UGM-IPA-2007.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13463935/UM_UGM-IPA-2008.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464009/UM_UGM-IPA-2009.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464010/UM_UGM-IPA-2010.pdf.html

PEMBAHASAN UM UGM Kemampuan Dasar
http://www.ziddu.com/download/13464030/UM_UGM-PembahasanDsr-2005.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464031/UM_UGM-PembahasanDsr-2006.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464074/UM_UGM-PembahasanDsr-2007.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464075/UM_UGM-PembahasanDsr-2008.pdf.html

PEMBAHASAN UM UGM Kemampuan IPA
http://www.ziddu.com/download/13464212/UM_UGM-PembahasanIPA-2005.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464211/UM_UGM-PembahasanIPA-2006.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464217/UM_UGM-PembahasanIPA-2007.pdf.html

http://www.ziddu.com/download/13464216/UM_UGM-PembahasanIPA-2008.pdf.html

DOWLOAD SOAL SIMAK UI 
 

SIMAK UI 2009 MTK DASAR
http://www.ziddu.com/download/13435716/SIMAKUIDSR2009-911.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435766/SIMAKUIDSR2009-921.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435788/SIMAKUIDSR2009-931.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435795/SIMAKUIDSR2009-941.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435799/SIMAKUIDSR2009-951.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435807/SIMAKUIDSR2009-961.pdf.html

PEMBAHASAN SIMAK UI THN MTK DSR 2009
http://www.ziddu.com/download/13434132/SIMAKUIDSR2009-951-PMBHSN.pdf.html

PEMBAHASAN SIMAK UI THN MTK IPA 2009
http://www.ziddu.com/download/13434738/SIMAKUIIPA2009-954-PMBHSN.pdf.html

SIMAK UI 2010 MTK DASAR
http://www.ziddu.com/download/13435688/SIMAKUIDSR2010-308.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435420/SIMAKUIDSR2010-306.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435079/SIMAKUIDSR2010-206.pdf.html

SIMAK UI MTK IPA 2010
http://www.ziddu.com/download/13435848/SIMAKUIIPA2010-506.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13435857/SIMAKUIIPA2010-606.pdf.html

PEMBAHASAN SIMAK UI MTK DSR 2010
http://www.ziddu.com/download/13434131/SIMAKUIDSR2010-209-PMBHSN.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13434133/SIMAKUIDSR2010-204-PMBHSN.pdf.html

PEMBAHASAN SIMAK UI MTK IPA 2010
http://www.ziddu.com/download/13434889/SIMAKUIIPA2010-504-PMBHSN.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/13434939/SIMAKUIIPA2010-509-PMBHSN.pdf.html