Koefesien Binomial

Untuk mencari koefisien dari suatu persamaan yang berbentuk (x + y)ⁿmemiliki beberapa cara yang sering digunakan. Salah satunya dengan cara menjabarkan persamaan tersebut kemudian menentukan koefesien yang ingin ditentukan.

(x + y)⁰ = 1

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y²

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵

(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 15xy⁵ +y⁶

atau menggunakan segitiga pascal seperti dibawah ini.

1

1   1

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

1   5   10   10   5   1

1   6   15   20   15   6   1

Dari cara menjabarkan diatas, bisa diperumum lagi untuk mempermudah perhitungan suku dan koefesiennya. Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (x + y)ⁿ adalah

1. Suku pertama adalah xⁿ, sedangkan suku terakhir adalah yⁿ
2. Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu sedangkan pangkat y bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n
3. Koefesien untuk x^n-ky^k, yaitu suku-(k + 1), adalah C(n, k). Bilangan C(n, k) disebut koefesien binomial.

Dari aturan diatas dapat disimpulkan bahwa

(x + y)ⁿ = C(n, 0)xⁿ + C(n, 1)x^n-1y¹ + … + C(n, k)x^n-ky^k + … + C(n, n-1)x¹y^n-1+ C(n, n)yⁿ

=  C(n, k)x^n-ky^k

Aturan secara umum ini dinamakan Koefesien Binomial

Contoh :

Tentukan suku keempat dan koefesien dari (x – y)⁵

Cara I : penjabaran

(x – y)⁵ = (x + (-y))⁵

= 
x⁵ + 5x⁴(-y) + 10x³(-y)² + 10x²(-y)³ + 5x(-y)⁴ + (-y)⁵

= x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵

Jadi suku keempatnya adalah -10x²y³ dan koefesienya adalah -10

Cara II : segitiga pascal

perhatikan baris keenam pada segitiga pascal diatas : 1 5 10 10 5 1. Sehingga suku keempatnya adalah 10x²(-y)³ = -10x²y³ dan koefesiennya = -10

Cara III : koefesien binomial

(x + (-y))⁵

 C(n, k)x^n-ky^k

C(5, 3)x^5-3(-y)³

=  x²(-y)³

=  x²(-y)³

= 10x²(-y)³

= -10x²y³

Jadi suku keempatnya adalah -10x²y³ dan koefesiennya adalah -10

Sumber :

Munir, R., 2009, Matematika Diskrit, Informatika, Bandung.